Introducción

El siguiente trabajo trata sobre los sistema de numeración a nivel general. Entre los cuales estaremos viendo, que el sistema de numeración es un conjunto de símbolo y reglas que permiten representar datos numéricos. También trataremos sobre los distinto sistema de numeración: decimal, binario, romano, octal y hexadecimal. Iremos detallando cada uno de estos sistema, con el objetivo de que todo el publico tenga aseso a esta información y la ves puedan sacarle buen provecho. Detallaremos cada uno de estos sistema, con informaciones clara y precisa. También trataremos las conversiones de un sistema a otros, como por ejemplo: convención del sistema decimal a binario, de binario a decimal, entre otros. Así que esperamos que dichas informaciones nos sirvan de ayuda para todos que el que necesite de este tema tan importante como lo es el sistema de numeración. Que el lo habitual el sistema de numeración que se utiliza es el sistema de numeración decimal.

Sistema de Numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

Entre los sistema de numeración que explicaremos en este trabajo veremos: el sistema decimal, el sistema binario, el sistema romano, el sistema octal y el sistema hexadecimal.

El Sistema de Numeración Decimal

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional  en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez.  El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración Arábiga) se compone de diez cifras: cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) y nueve (9). 

Le dejo este vídeo, en donde se le explica claramente que son los sistemas de numeración decimal: 

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.

Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dígito se multiplica por 10^0 (es decir 1); el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.

• Ejemplo:

• Otro Ejemplo:

• O también:

Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.

• Ejemplo:

• O también:

Historia de sistema de numeración decimal

El siguiente vídeo sirve de apoyo para saber de dónde surge el sistema de numeración decimal.

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tienen los hombres en las manos que siempre han servido como base para contar.

También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal.

Cronología
Año	Acontecimiento
III milenio a.C.	Los egipcios utilizan un sistema decimal no posicionar. Otras culturas de Mesopotamia (Sumeria, Babilonia, ...) utilizaban un sistema posicionar sexagesimal.
Antes de 1350	los chinos.
hacia -600	los etruscos
hacia -500	Registros en sánscrito.
	La civilización maya

Escritura decimal

En un sistema de numeración posicional de base racional, como la decimal, podemos representar números enteros, sin parte decimal, y números fraccionarios, un número fraccionario que tiene los mismos divisores que la base dará un número finito de cifras decimales, racional exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura, números racionales periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta, números racionales periódicos mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base.

La escritura única (sin secuencias recurrentes) puede ser de los tipos:

·         Número entero

·         Número decimal exacto.

·         Número decimal periódico.

o    Número decimal periódico puro.

o    Número decimal periódico mixto.

·         Número irracional.

Esta ley de tricotomía aparece en todo sistema de notación posicional en base entera n, e incluso se puede generalizar a bases irracionales, como la base áurea.

El Sistema de Numeración Binario

Vamos a estudiar el sistema binario de forma sencilla y fácil de entender para todo el mundo.

   Actualmente la mayoría de las personas utilizamos el sistema decimal (de 10 dígitos) para realizar operaciones matemáticas. Este sistema se basa en la combinación de 10 dígitos (del 0 al 9). Construimos números con 10 dígitos y por eso decimos que su base es 10.

   El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras 0 y 1, es decir solo 2 dígitos, esto en informática tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de Tensión lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado. También se utiliza en electrónica y en electricidad (encendido o apagado, activado o desactivado).

Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).

   Por ejemplo el número en binario 1001 es de 4 bits. Recuerda cualquier número binario solo puede tener ceros y unos.

   Pasar un número Decimal a su equivalente en Binario

   Según el orden ascendente de los números en decimal tendríamos un número equivalente en binario:

    El 0 en decimal sería el 0 en binario

    El 1 en decimal sería el 1 en binario

    El 2 en decimal sería el 10 en binario (recuerda solo combinaciones de 1 y 0)

    El 3 en decimal sería el 11 en binario

    El 4 en decimal sería el 100 en binario

   

   Y así sucesivamente obtendríamos todos los números en orden ascendente de su valor, es decir obtendríamos el Sistema de Numeración Binario y su equivalente en decimal. Pero que pasaría si quisiera saber el número equivalente en binario al 23456 en decimal. Tranquilo, hay un método para convertir un número decimal en binario sin hacerlo uno a uno.

   Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar). Para sacar la cifra en binario cogeremos el último cociente (siempre será 1) y todos los restos de las divisiones de abajo arriba, orden ascendente.

   Ejemplo queremos convertir el número 28 a binario

   28 dividimos entre 2 : Resto 0

   14 dividimos entre 2 : Resto 0

   7 dividimos entre 2 : Resto 1

   3 dividimos entre 2 : Resto 1 y cociente final 1

   Entonces el primer número del número equivalente en binario sería el cociente último que es 1, el segundo número del equivalente el resto ultimo, que también es 1, la tercera cifra del equivalente sería el resto anterior que es 1, el anterior que es 0 y el último número de equivalente en binario sería el primer resto que es 0 quedaría el 11100

   Conclusión el número 28 es equivalente en binario al 11.100.

   Aquí lo vemos con las operaciones de forma más sencilla de entender:

Vemos como para sacar el equivalente se coge el último cociente de las operaciones y los restos que han salido en orden ascendente (de abajo arriba) 11100. El Número 2 del final en subíndice es para indicar que es un número en base 2,  pero no es necesario ponerlo.

   Veamos otro ejemplo el número 65 pasarlo a binario.

   Pasar un Número Binario a su Equivalente en Decimal

   Pues ahora al revés. ¿Que pasaría si quisiera saber cual es el número equivalente en decimal del número binario por ejemplo 1001? Pues también hay método.

   PASO 1 – Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0 (muy importante desde 0 no desde 1).
   PASO 2 – Ese número asignado a cada bit o cifra binaria será el exponente que le corresponde.
   PASO 3 – Cada número se multiplica por 2 elevado al exponente que le corresponde asignado anteriormente.
   PASO 4 - Se suman todos los productos y el resultado será el número equivalente en decimal

   Vamos a verlo gráficamente que será más sencillo de entender.
 
  Ejemplo el número 1001 queremos saber su equivalente en decimal. Primero asignamos exponentes:

  Empezamos por el primer producto que será el primer número binario por 2 elevado a su exponente, es decir 1 x 2³ . El segundo y el tercer productos serán 0 por que 0 x 2²  y 0 x 2¹ su resultado es 0 y el último producto será 1 x 2⁰ que será 1, OJO cualquier número elevado a cero es 1, luego 1 x 2⁰ es 1 (no confundir y poner 0).

   Ya estamos en el último paso que es sumar el resultado de todos estos productos.

   1 x 2³ + 0 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9

   El equivalente en decimal del número binario 1001 es el 9.

   Veamos otro ejemplo solo gráficamente para que lo entiendas definitivamente. En este caso la asignación del exponente a cada número ya lo hacemos directamente en los productos, que es como se suele hacer normalmente.

• Otro ejemplo con todos los datos:

Sistema de Numeración Romano

Es obvio que el sistema de numeración romano fue utilizado por las personas que vivían en los antiguos tiempos del Imperio Romano. Como característica principal encontramos que en este sistema numérico se utilizan algunas letras como símbolos para los números.

También es importante mencionar que los números romanos son un sistema de numeración decimal. ¿A qué nos referimos? Es decir tienen decenas, centenas, millares, y así sucesivamente.

Un dato curioso que no debemos dejar de mencionar es que no existe el número cero para designar a la inexistencia de elementos (este numero se conocía desde la época babilónica, pero recién se introdujo como número en la India en los años 900 y se dio a conocer a nivel mundial gracias a los árabes, aunque se conoce que los monjes Dionysius Exiguus y San Beda en el año 525 y 725 utilizaron el símbolo N para representar al 0, pero esto no se utiliza actualmente).

Dentro de la numeración romana tampoco hay números negativos. Es importante saber que actualmente se utilizan para numerar los diferentes tomos o libros de una enciclopedia (Tomo I, Tomo II), también los utilizamos para los nombres de los Reyes, Papas y demás personajes eclesiásticos (Papa Benedicto XVI), para los actos y escenas de una obra teatral también es utilizado (Acto I, Escena 2).

El sistema de numeración romano se utiliza hoy en día para la designación de congresos, olimpiadas y otros eventos (II Congreso de Medicina), también hacemos uso de él para la numeración de diferentes películas de una misma saga (Rocky, Rocky II, Rocky III y demás), y otros.

El sistema de numeración romano es decimal, pero no-posicional:

IX = 9

XI = 11

Sistema de Numeración Octal

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu­gar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Por ejemplo, el número octal 273₈ tiene un valor que se calcula así:

2*8³ + 7*8² + 3*8¹ = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 1496₁₀

273₈ = 1496₁₀

Sistema de Numeración Hexadecimal

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima­les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F₁₆:

1A3F₁₆ = 1*16³ + A*16² + 3*16¹ + F*16⁰

 
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F₁₆ = 6719₁₀

Ejercicio 7:

Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC5₁₆,  100₁₆,  1FF₁₆

Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 1735₁₀ será necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 : 16 = 108    Resto: 7

108 : 16 = 6           Resto: C es decir, 12₁₀

6 : 16 = 0                Resto: 6

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:

1735₁₀ = 6C7₁₆

Ejercicio 8:

Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 3519₁₀, 1024₁₀, 4095₁₀